1 引言
金融学中的一个比较经典的问题是关于投资组合优化，它起源于Markowitz 的均值-方差理论[1]，它是通过不同投资方案将投资者的财富分配到里面，从而达到收益最大化、分散投资风险等目标。一开始，股票作为最先出现的组合投资优化的资产类型，后来扩大发展到了债券，但是债券投资在具有高收益的同时，也具有高风险特性。因此，本文研究如何将现有资产做到最优投资组合，以获取最大收益，这对于金融投资者来说具有一定的理论与现实意义。
虽然债券市场发展迅速，但金融市场变幻莫测，债券作为固定收益类产品中最主要的产品，其安全性与收益性备受投资者的关注。其中债券投资组合是比较热门的理财产品，但是在高收益和高风险并存的特性之下，如何设计出一个合理的投资组合方案就显得尤为重要，也因此诸多学者进行了大量的研究。
学者李洁等研究了基于投资约束条件的企业年金最优投资组合，运用马克维茨的均值-方差模型，以新管理办法为参考，限定出我国企业年金资产投资的约束条件，选用4 种不同的投资工具，在各种不同投资比例下进行测算他们的投资收益率和风险水平，从而确定现阶段我国企业年金投资的最优组合[2]。杜艳艳运用Copula 模型，并创新性地取了中证债券指数、上证综合指数和深证综合指数3 个指标对我国股票市场和债券市场中股票和债券投资组合问题进行研究[3]。魏家语等针对投资组合理论与财务风险的防范进行了相关的研究，为企业规避风险提出一系列合理的建议[4]。李战营介绍了债券的基本知识，包括基本要素、特征及风险以及债券投资组合的管理策略[5]。
2 问题提出与分析
现我国某大型上市公司欲进行股票的投资，前提要求债券投资只允许在第一年初进行，本金8000 万美金分配的15个产品进行投资组合使得收益最大，并且这些投资将分别在第2、3、4、5、9、12、15、18、20、25年收回本金和收益。建立线性规划模型，研究各产品之间的差异关系，得出在众多约束下选取的集中产品的最优组合进行投资，获取最大收益。
问题是建立约束条件下的线性规划模型。本问题是一个一次性投资问题，属于静态问题，将最大收益作为目标函数，根据题目中投资要求，建立多个约束方程，可以建立线性规划模型，通过MATLAB 可得最优解。
3 基本假设、符号说明
3.1 基本假设
①假设市场经济环境在未来30年内基本稳定。②假设在重复投资过程中，某债券购买总金额为2021-2049年所重复投资的总金额。
3.2 符号说明
相关符号及说明如表1 所示。
表1 相关符号及说明序号 符号 说明1 Ei 最大总收益值（百万）2 Wi 总收益值（百万）3 xi i 债券的投资金额（百万）4 yi 到期年限（年）5 zi 到期税前总收益（%）6 pi i 债券的重复投资次数7 si 每年的固定捐赠额（百万）8 Si 30年的固定捐赠总额（百万）9 ti i 债券在2021-2049年的投资总额（百万）10 T 各债券在2021-2049年的投资总额之和（百万）
4 模型的建立与求解
4.1 数据来源
表2 各类债券及其属性债券名称 债券领域 风险等级 地方政府税率（%）到期年限（年）到期税前总收益（%）1 医药健康 5 0 2 4.45 2 医药健康 5 0 9 39.89 3 医药健康 5 0 20 232.11 4 交通运输 2 20 3 8.0 5 交通运输 2 20 12 58.27 6 交通运输 2 20 15 300.54 7 科技研发 4 0 4 12.55 8 科技研发 4 0 15 180.09 11 装备制造 3 10 9 39.89 12 装备制造 3 10 18 206.12 13 国民福利 1 30 2 4.45 14 国民福利 1 30 5 18.77 15 国民福利 1 30 18 206.12 9 科技研发 4 0 20 232.11 10 装备制造 3 10 4 12.55
4.2 线性规划
现实生活中的人在面对各类生产实践时，都会面临如何合理配置资源的问题，从而更好地安排生产及企业运营活动，最终以能够取得最大经济效益为生产生活的最终目标。此类问题可以用线性规划解决，而其也构成了运筹学的一个重要分支，同时，线性规划（Linear Programming 简记LP）则是数学规划的一个重要分支[6]。
4.3 模型的创建与分析
由题意可知：决策变量用分别表示购买x1，x2，x3，…，x15债券的数值，单位：百万，z1，z2，z3，…，z15分别表示购买1，2，3，…，15 债券的税前总收益。目标函数用E 来表示总收益，总收益等于购买不同债券的数值乘以到期税前总收益再乘以地方政府税率之间求和：
由题目要求1：医药健康债券购买金额不得少于债券购买总金额的20%，其余每个行业的债券购买总金额不得少于债券购买总金额的10%。为了方便计算，将8000 万元转换成80 百万元，单位为百万。可得约束条件不等式如下：
由题目要求2：企业遵循所购债券的平均风险等级不得低于2.5，等级数字越大，风险越低。可得约束条件不等式如下：
由题目要求3：要求所购买的债券的平均到期年限不超过10年。可得约束条件不等式如下：
由第一问可知，分配金额为8000 万元。可得约束条件如下：
综上可建立线性规划模型如下：
以上4 个约束条件组成约束方程进行求解。
4.4 模型的求解与结果
模型求解：将上面模型用MATLAB 求解，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数旨在求解的是最小值的问题，但如果求最大值是我们的目标函数的要求，我们可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题可以简洁性地转化为求最小值问题[7]。
通过MATLAB 解的x1，x2，x3，…，x15如表3 所示。
表3 变量的结果值x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0.0000 8.0000 0.0000 0.0000 8.0000 0.0000 0.0000 10.6667 0.0000 5.3333 8.0000 0.0000 0.0000 0.0000 40.0000 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
fval=-86.5547，表明目标函数的最大值E1=max W1单位为百万。
即得出结果，用x1、x3、x4、x8、x10、x13表示购买债券1、3、4、8、10、13 的 数 值 分 别 为10.6667、5.3333、8.0000、40.0000、8.0000、8.0000（单位：百万），最大总收益为86.5547 百万，购买方案如表4 所示。
表4 购买方案?债券名称 债券领域 购买的数值（单位：百万）1医药健康 10.6667 3医药健康 5.3333 4交通运输 8.0000 8科技研发 40.0000 10 装备制造 8.0000 13 国民福利 8.0000最大收益 86.5547
5 模型的评价与推广
①线性规划可以综合考虑，根据决策者要求和实际情况变化作出相应的决策。②建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。
该模型具有较广的普适性，不仅适用于资产投资组合问题，也可以扩展到生活中的其他实际问题中，如多种约束条件下的工资总额分配、运输问题、指派问题等。
【1】(美)哈利M.马科维兹.资产组合选择和资本市场的均值-方差分析[M].上海:上海人民出版社,2006.
【2】李洁,彭燕,曹晓政.基于投资约束条件的企业年金最优投资组合研究[J].金融理论与实践,2017(07):81-84.
【3】杜艳艳.基于Copula 模型的股票与债券投资组合策略研究[D].北京:首都经济贸易大学,2017.
【4】魏家语,郝帅,李梓源.投资组合理论与财务风险的防范[J].农家参谋,2017(22):288-289.
【5】李战营.债券投资组合的管理策略及其实证研究[J].中国商论,2018(08):33-34.
【6】司守奎.数学建模算法与程序[M].北京:国防工业出版社,2015.
【7】胡守信,李柏年.基于MATLAB 的数学实验[M].北京:科学出版社,2004.
文章来源：债券 网址: http://zhaiquan.400nongye.com/lunwen/itemid-46241.shtml
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